Question

設

a

=（sinx-1，1），

b

=（sinx+3，1），

c

=（-1，-2），

d

=（k，1），k∈R，若存在x∈R，使得（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），求k的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的求值,平面向量及應用

分析：存在x∈R，使得（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），即有（

a

+

d

）•（

b

+

c

）=0，求出（

a

+

d

）、（

b

+

c

），化簡并分離參數(shù)，得到k=

4-sin2x-sinx

sinx+2

，令sinx+2=t（1≤t≤3），得到t的關系式，運用導數(shù)求出最值即可．

解答： 解：由于

a

=（sinx-1，1），

d

=（k，1），
則

a

+

d

=（k+sinx-1，2），
由

b

=（sinx+3，1），

c

=（-1，-2），
則

b

+

c

=（sinx+2，-1），
由于存在x∈R，使得（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），
則有得（

a

+

d

）•（

b

+

c

）=0，
即有（k+sinx-1）（sinx+2）-2=0，
即為k=

4-sin2x-sinx

sinx+2

，
令sinx+2=t（1≤t≤3），
則sinx=t-2，即有

4-sin2x-sinx

sinx+2

=

4-(t-2)2-(t-2)

t

=3-（t-

2

t

），而（t-

2

t

）′=1+

2

t2

＞0，
則（t-

2

t

）為增，最小值為1-2=-1，最大值為3-

2

3

=

7

3

，
即有3-（t-

2

t

）的最大值為3-（-1）=4，最小值為3-

7

3

=

2

3

．
故k的取值范圍是[

2

3

，4]．

點評：本題考查平面向量及運用，考查向量垂直的條件，同時考查三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的值域的運用，考查運算能力，屬于中檔題．