Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$．當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=2^x+1．給出下列命題：
①f（2013）+f（-2014）=$\frac{5}{2}$；             
②f（x）是定義域上周期為2的周期函數(shù)；
③直線y=8x與函數(shù)y=f（x）圖象只有1個(gè)交點(diǎn)； 
④y=f（x）的值域?yàn)椋?\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，4）
其中正確命題的序號(hào)為：①③④．

Answer 1

分析 ①②，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$⇒T=2，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（2013）+f（-2014）=f（2013）+f（2014）=f（1）+f（0）=$\frac{1}{f（0）}$+f（0）=$\frac{5}{2}$，
③，直線y=8x在區(qū)間[0，1）遞增，值域?yàn)閇0，8），函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1）遞增，值域?yàn)閇0，4），依據(jù)圖象可得只有1個(gè)交點(diǎn)；
④，當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，x-1∈[0，1），f（x）=$\frac{1}{f（x-1）}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$⇒T=2，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（2013）+f（-2014）=f（2013）+f（2014）=f（1）+f（0）=$\frac{1}{f（0）}$+f（0）=$\frac{5}{2}$，
①故正確，②錯(cuò)；對于③，直線y=8x在區(qū)間[0，1）遞增，值域?yàn)閇0，8），函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1）遞增，值域?yàn)閇0，4），依據(jù)圖象可得只有1個(gè)交點(diǎn)，故正確；
對于④，當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，x-1∈[0，1），f（x）=$\frac{1}{f（x-1）}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$∈（$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$]，故正確．
故答案：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期、值域等基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．