Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，1），傾斜角α=$\frac{π}{6}$．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）求直線l的參數(shù)方程及圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與圓C交于點(diǎn)A，B，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的傾斜角，求出直線的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，可得圓C的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁和t₂，以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{7}{4}$=0，由|PA|•|PB|=|t₁t₂|求出點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

解答 解：（1）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，1），傾斜角α=$\frac{π}{6}$，
∴參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），（3分）
ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）=2cosθ+2sinθ．
故圓的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-2y=0．…（6分）
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²-2x-2y=0得t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{7}{4}$=0            …（9分）
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則${t_1}{t_2}=-\frac{7}{4}$
∴|PA|•|PB|=$|{{t_1}•{t_2}}|=\frac{7}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．