【題目】如圖，給定由個點組成的正三角形點陣。在其中任意取三個點，以這三點為頂點構成的正三角形的概率為__________。

【答案】

【解析】

設正三角形點陣的凸包為正，邊長為.

首先，計算正△DEF的個數(shù)，其中，D、E、F為上述正三角形點陣內(nèi)的點.

如圖，將AB、AC分別延長到點，使得.將分成n等份.

對正三角形點陣內(nèi)任一點X，過X作AB、AC的平行線與的交點，并分別記為.

下面分兩種情形.

1.正△DEF與正△ABC的對應邊平行，則正△DEF與邊上有序三點組一一對應，有個正三角形.

2.正△不與正△ABC對應邊平行，作正△的外接正△DEF，使得正△DEF與正△ABC的對應邊平行，則正△與邊B’C’上有序四點組一一對應，有個正三角形.

綜上，共有個正三角形.

從而，所求概率為.

故答案為：

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓過點，焦距長，過點的直線交橢圓于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）在軸上是否存在一點，使得為定值.

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【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.

（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關系:

年入流量

發(fā)電量最多可運行臺數(shù)

1

2

3

若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？

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【題目】已知點，圓.

（1）若直線過點且到圓心的距離為，求直線的方程；

（2）設過點的直線與圓交于、兩點（的斜率為負），當時，求以線段為直徑的圓的方程.

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【題目】為了解某苗圃基地的柏樹幼苗生長情況，在這些樹苗中隨機抽取了120株測量高度（單位：cm），經(jīng)統(tǒng)計，樹苗的高度均在區(qū)間內(nèi)，將其按，，，，， 分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)當?shù)匕貥涿缟L規(guī)律，高度不低于27cm的為優(yōu)質樹苗.

（1）求圖中的值；

（2）用樣本估計總體，頻率代替概率，若從這批樹苗中隨機抽取4株，其中優(yōu)質樹苗的株數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】已知，記為正整數(shù)a的各位數(shù)字之和。試求正整數(shù)t的最小值，使得在任意t個連續(xù)的正整數(shù)中總能找到一個數(shù)c，滿足。

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【題目】已知函數(shù)，其中a為正實數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，求證：.

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【題目】隨著網(wǎng)購人數(shù)的日益增多，網(wǎng)上的支付方式也呈現(xiàn)一種多樣化的狀態(tài)，越來越多的便捷移動支付方式受到了人們的青睞，更被網(wǎng)友們評為“新四大發(fā)明”之一.隨著人們消費觀念的進步，許多人喜歡用信用卡購物，考慮到這一點，一種“網(wǎng)上的信用卡”橫空出世——螞蟻花唄.這是一款支付寶和螞蟻金融合作開發(fā)的新支付方式，簡單便捷，同時也滿足了部分網(wǎng)上消費群體在支付寶余額不足時的“賒購”消費需求.為了調(diào)查使用螞蟻花唄“賒購”消費與消費者年齡段的關系，某網(wǎng)站對其注冊用戶開展抽樣調(diào)查，在每個年齡段的注冊用戶中各隨機抽取100人，得到各年齡段使用螞蟻花唄“賒購”的人數(shù)百分比如圖所示.

（1）由大數(shù)據(jù)可知，在18到44歲之間使用花唄“賒購”的人數(shù)百分比y與年齡x成線性相關關系，利用統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)，以各年齡段的區(qū)間中點代表該年齡段的年齡，求所調(diào)查群體各年齡段“賒購”人數(shù)百分比y與年齡x的線性回歸方程（回歸直線方程的斜率和截距保留兩位有效數(shù)字）；

（2）該網(wǎng)站年齡為20歲的注冊用戶共有2000人，試估算該網(wǎng)站20歲的注冊用戶中使用花唄“賒購”的人數(shù)；

（3）已知該網(wǎng)店中年齡段在18-26歲和27-35歲的注冊用戶人數(shù)相同，現(xiàn)從18到35歲之間使用花唄“賒購”的人群中按分層抽樣的方法隨機抽取8人，再從這8人中簡單隨機抽取2人調(diào)查他們每個月使用花唄消費的額度，求抽取的兩人年齡都在18到26歲的概率.

參考答案：，.

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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