Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．（a為常數(shù)）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）
∵f′（x）=1-，令f'（x）=0得x=1
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)
∵當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=1
（Ⅱ）∵f′（x）=a-，
若a≤0，則對(duì)任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有最大值，沒有最小值，f（x）_最大值=f（1）=a；
若a＞0，令f'（x）=0得x=
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，＞1，當(dāng)x∈（1，）時(shí)f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，）上為減函數(shù)
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)f'（x）＞0∴函數(shù)f（x）在（，+∞）上為增函數(shù)
∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，f（x）最小值=f（）=1-ln
當(dāng)a≥1時(shí)，≤1在[1，+∞）恒有f'（x）≥0
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=a．
綜上得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）_最大值=a；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，f（x）最小值=1-ln，沒有最大值；
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=a，沒有最大值．
分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入求出其導(dǎo)函數(shù)，得出其在定義域上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)f（x）的最值；
（Ⅱ）先求出其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=a-，通過討論a的取值得出函數(shù)在[1，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．