Question

18．已知點A為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上任意一點，且它到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為定值3，則$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$=（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 利用點到直線的距離公式，結合雙曲線方程，即可得出結論．

解答 解：設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的任一點P（x，y），兩條漸近線方程為bx±ay=0，
∴雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的任一點到兩條漸近線距離之積為$\frac{（bx+ay）（bx-ay）}{（\sqrt{^{2}+{a}^{2}}）^{2}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=3，
即$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{3}$，
故選：D

點評 本題考查點到直線的距離公式，根據(jù)雙曲線漸近線的關系，利用方程思想進行轉化求解是解決本題的關鍵．