Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y²=4x的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，若雙曲線的離心率為2，則△AOB的面積為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，拋物線的準線方程x=-1，解得交點A，B，運用離心率公式和a，b，c的關系，化簡即可得到求得三角形的面積．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
拋物線y²=4x的準線為x=-1，
可得A（-1，$\frac{a}$），B（-1，-$\frac{a}$），
即有△AOB的面積為$\frac{1}{2}$•1•$\frac{2b}{a}$=$\frac{a}$，
由e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
則△AOB的面積為$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程和離心率公式的運用，同時考查拋物線的準線方程，屬于基礎題．