Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+4，x＜a}\\{{x}^{2}-2x，x≥a}\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是[-5，4]．

Answer 1

分析 由函數(shù)的單調性求得函數(shù)y=x+4在（-∞，a）上的值域，然后分a≤1和a＞1求得y=x²-2x（x≥a）的值域，結合函數(shù)f（x）的值域為R列關于a的不等式求解．

解答 解：函數(shù)y=x+4在（-∞，a）上為增函數(shù)，值域為（-∞，a+4）．
若a≤1，y=x²-2x（x≥a）的值域為[-1，+∞），要使函數(shù)f（x）的值域為R，則a+4≥-1，得a≥-5，
∴-5≤a≤1；
若a＞1，y=x²-2x（x≥a）的值域為[a²-2a，+∞），要使函數(shù)f（x）的值域為R，則a+4≥a²-2a，解得-1≤a≤4，
∴1＜a≤4．
綜上，使函數(shù)f（x）的值域為R的實數(shù)a的取值范圍是[-5，4]．
故答案為：[-5，4]．

點評 本題考查分段函數(shù)的值域，考查分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．