Question

12．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且y=f（x+2）的函數(shù)圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}sin（\frac{π}{2}x）（0≤x≤1）}\\{（\frac{1}{2}）^{x}+1（x＞1）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程4f²（x）-（4a+5）f（x）+5a=0（a∈R），有且僅有6個(gè)不相同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 將y=f（x+2）的圖象右移2個(gè)單位，可得y=f（x）的圖象，可知圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．作出函數(shù)y=f（x）的圖象，由方程的解為f（x）=$\frac{5}{4}$或f（x）=a．作出直線y=$\frac{5}{4}$或y=a．通過(guò)圖象觀察，即可得到所求a的范圍．

解答 解：y=f（x+2）的函數(shù)圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱，
將y=f（x+2）的圖象右移2個(gè)單位，可得y=f（x）的圖象，
可知圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
作出函數(shù)y=f（x）的圖象，
關(guān)于x的方程4f²（x）-（4a+5）f（x）+5a=0，
即有f（x）=$\frac{5}{4}$或f（x）=a．
y=f（x）和直線y=$\frac{5}{4}$的交點(diǎn)有4個(gè)，即f（x）=$\frac{5}{4}$的解的個(gè)數(shù)為4，由題意可得f（x）=a有兩個(gè)解．
即y=f（x）和直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可得a=$\frac{3}{2}$或0＜a≤1．
綜上可得a的范圍是（0，1]∪{$\frac{3}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查方程的根的分布情況，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．