17．設函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-ax+a，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＞1，則a的取值范圍是（　　）
A．（1，2]B．（1，$\frac{e+1}{2}$]C．（1，$\frac{2e}{3}$]D．（1，2）

分析 把存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＞1，轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0，使得$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}-a{x}_{0}+a＞1$，即$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}＞a{x}_{0}-a+1$．令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，h（x）=ax-a+1，求得分析g（x）的單調(diào)性，作g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，h（x）=ax-a+1的圖象，數(shù)形結合得到$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=1-a＜0}\\{a≥\frac{1-（-e）}{2}}\end{array}\right.$，則答案可求．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-ax+a，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＞1，
即存在唯一的整數(shù)x0，使得$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}-a{x}_{0}+a＞1$，也就是存在唯一的整數(shù)x0，使得$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}＞a{x}_{0}-a+1$．
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，h（x）=ax-a+1，
∵g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$在（-∞，1]上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
又∵h（x）=ax-a+1是恒過點（1，1）的直線，
∴作g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，h（x）=ax-a+1的圖象如下，

則$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=1-a＜0}\\{a≥\frac{1-（-e）}{2}}\end{array}\right.$，即1$＜a≤\frac{e+1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想方法，是壓軸題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．已知sin（π-α）=$\frac{1}{3}$，sin2α＞0，則tanα=（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$C．$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$D．2$\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．設函數(shù)f（x）=x2+3x+3-a•ex（a為非零常數(shù)）．
（1）求g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有且僅有一個零點，求a的取值范圍；
（3）若存在b，c∈R，且b≠c，使f（b）=f（c），試判斷a•f′（$\frac{b+c}{2}$）的符號．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

5．圓心坐標為（1，2），且與直線2x+y+1=0相切的圓的方程為（x-1）2+（y-2）2=5．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，且y=f（x+2）的函數(shù)圖象關于x=-2對稱，當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}sin（\frac{π}{2}x）（0≤x≤1）}\\{（\frac{1}{2}）^{x}+1（x＞1）}\end{array}\right.$，若關于x的方程4f2（x）-（4a+5）f（x）+5a=0（a∈R），有且僅有6個不相同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．在數(shù)列{an}中，若a1=6，an+1=3an+3n+1，（n∈N*），則an=2n•3n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈C且a≠0）有下列四個命題：①b2-4ac=0時，方程有兩個等根；②b2-4ac＜0時，方程有兩個不等虛根；③當方程有兩個不等虛根α、β時，|α|2=|β|2=αβ；④當方程有兩個根α、β時，ax2+bx+c=a（x-α）（x-β），
其中正確命題的序號為①②③④．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．設函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-2（x≤-1）}\\{-1（-1＜x＜1）}\\{x-2（x≥1）}\end{array}\right.$
（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象并求f（2）+f（0）+f（-2）的值；
（2）若f（x）=3，求x的值；
（3）若f（x）≥2，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則關于函數(shù)g（x）：
①函數(shù)在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上遞減；②函數(shù)圖象關于x=$\frac{π}{4}$對稱；③函數(shù)在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上值域為[-2，1]；④函數(shù)圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），以上說法正確的是（　�。�
A．①③B．②③C．①②③D．①③④

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