Question

19．如圖，在三棱錐A-BCD中，等邊△BCD的邊長為4，△ABD是以∠A為直角的等腰直角三角形，平面ABD⊥平面BCD，點M是棱BD的中點．
（1）求證：CM⊥AB：
（2）求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由三線合一可得CM⊥BD，由面面垂直的性質可得CM⊥平面ABD，故CM⊥AB；
（2）由勾股定理求出棱錐的高AM，代入體積公式即可．

解答 證明：（1）∵△BCD是等邊三角形，M是BD中點，
∴CM⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CM?平面BCD，
∴CM⊥平面ABD，∵AB?平面ABD，
∴CM⊥AB．（2）連結AM，∵△ABD是以∠A為直角的等腰直角三角形，
∴AM⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AM?平面ABD，
∴AM⊥平面BCD，
∵BC=CD=BD=4，∴S_△BCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=4$\sqrt{3}$．
∵AB=AD，∠BAD=90°，∴AB=2$\sqrt{2}$，BM=2．∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=2．
∴V_棱錐A-BCD=$\frac{1}{3}×{S}_{BCD}×AM$=$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×2$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質與判斷，面面垂直的性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．