Question

10．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π．若將f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移$\sqrt{3}$個單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意x∈[0，$\frac{π}{3}$]，f（x）+m≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω，由函數(shù)g（x）為奇函數(shù)求得φ和b的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的減區(qū)間．
（3）通過x的范圍求出2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，然后求出函數(shù)的最大值，即可推出m的范圍．

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]-b+$\sqrt{3}$為奇函數(shù)，且0＜φ＜π，則φ=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得：-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，（k∈Z），
故函數(shù)的增區(qū)間為[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]（k∈Z）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得：$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，（k∈Z），
故函數(shù)的減區(qū)間為[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]（k∈Z）．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$∈[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]，
∵f（x）≤-m恒成立，
∴m≤$\sqrt{3}$-1．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．