Question

9．設f（x）=|x+3|-a|2x-1|
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，對x分類討論，去絕對值，分別求出f（x）＞3，得解集為（$\frac{1}{3}$，1）；
（Ⅱ）若f（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，對x分類討論：當x=$\frac{1}{2}$時，a∈R；當x≠$\frac{1}{2}$時，|$\frac{x+3}{2x-1}$|≥a對[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1]恒成立，只需求出左式的最小值即可．利用分離常數(shù)法得出$\frac{x+3}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{7}{2}}{2x-1}$∈（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（4，+∞），進而求出最小值．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，
當x＜-3時，
f（x）=x-4，f（x）＞3，
∴無解
當-3≤x≤$\frac{1}{2}$時，
f（x）=3x+2，f（x）＞3，
∴$\frac{1}{3}$＜x$≤\frac{1}{2}$，
當x＞$\frac{1}{2}$時，
f（x）=4-x，f（x）＞3，
∴$\frac{1}{2}＜$x＜1，
∴解集為（$\frac{1}{3}$，1）；
（Ⅱ）若f（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，
∴|x+3|≥a|2x-1|恒成立，
當x=$\frac{1}{2}$時，a∈R，
當x≠$\frac{1}{2}$時，∴|$\frac{x+3}{2x-1}$|≥a對[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
∵$\frac{x+3}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{7}{2}}{2x-1}$∈（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（4，+∞），
∴|$\frac{x+3}{2x-1}$|的最小值為$\frac{2}{3}$，
∴a≤$\frac{2}{3}$．

點評 考查了絕對值函數(shù)的求解和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．