Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}-x+1}$，a∈R，求不等式f（x）＞1的解集．

Answer 1

分析 由f（x）＞1，即ax²+x-a＞1，因式分解得（x-1）（ax+a+1）＞0，通過對(duì)a分類討論即可得出．

解答 解：f（x）＞1，即（a-1）x²+2x-（a+1）＞0，
∴（x-1）[（a-1）x+（a+1）]＞0，
①當(dāng)a-1=0時(shí)，化為2x-2＞0，解得x＞1，其解集為{x|x＞1}；
②當(dāng)-1＜a-1＜0即0＜a＜1時(shí)，-$\frac{a+1}{a-1}$=-1-$\frac{2}{a-1}$＞1，（x-1）（x+1+$\frac{2}{a-1}$）＞0，解得x＜1或x＞-1-$\frac{2}{a-1}$
∴不等式的解集為{x|x＜1或x＞-1-$\frac{2}{a-1}$}；
③當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為（x-1）²＜0，其解集為∅；
④當(dāng)a＜0時(shí)，1＞-1-$\frac{2}{a-1}$，由（x-1）（x+1+$\frac{2}{a-1}$）＜0，解得-1-$\frac{2}{a-1}$＜x＜1，
故解集為{x|-1-$\frac{2}{a-1}$＜x＜1}；
⑤當(dāng)a＞1時(shí)，-1-$\frac{2}{a-1}$＜1，由（x-1）（x+1+$\frac{2}{a-1}$）＞0，解得：x＞1或x＜-1-$\frac{2}{a-1}$，
故解集為{x|x＞1或x＜-1-$\frac{2}{a-1}$}．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握分類討論、一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．