Question

1．直線l：x+y-1=0交橢圓ax²+by²=1（a＞0，b＞0）于A，B兩點．交x軸于點N，設(shè)AB的中點為M，若|MN|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求a，b的關(guān)系表達式以及a，b的取值范圍．

Answer 1

分析 N（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（a+b）x²-2bx+b-1=0，由△＞0，化為：a+b＞ab（*）．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式及其|MN|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，化簡即可得出．

解答 解：N（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{a{x}^{2}+b{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（a+b）x²-2bx+b-1=0，
△=4b²-4（a+b）（b-1）＞0，化為：a+b＞ab（*）．
∴x₁+x₂=$\frac{2b}{a+b}$，
∴x₀=$\frac{a+b}$，y₀=$\frac{a}{a+b}$．
∵|MN|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴$\sqrt{（\frac{a+b}-1）^{2}+（\frac{a}{a+b}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
化為：b=3a．
代入（*）：4a＞3a²，a＞0，解得0＜$a＜\frac{4}{3}$；
∴0＜b＜4．且a≠b．

點評 本題考查了直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之間的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．