Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a^-x，（a＞1，x∈R）．
（Ⅰ） 判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（1-t）+f（1-t²）＜0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
判斷奇偶性，先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，若不是，則為非奇非偶函數(shù)；若是，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，得出結(jié)論．
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
按照定義去判斷，取值，作差，變形，判斷符號(hào)，得出結(jié)論．
（Ⅲ）若f（1-t）+f（1-t²）＜0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
先移項(xiàng)，得f（1-t）＜-f（1-t²），根據(jù)奇函數(shù)，f（1-t）＜f（t²-1），再根據(jù)單調(diào)性，求出t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，又f（-x）=a^-x-a^x=-f（x）
所以f（x）是奇函數(shù)
（Ⅱ）函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
證明：在R上任取x₁＜x_2，
則f(x1)-f(x2)=ax1-a-x1-ax2+a-x2=(ax1-ax2)+(a-x2-a-x1)
=(ax1-ax2)  (

ax1 ax2 +1

ax1ax2

)
因?yàn)閤₁＜x₂，又a＞1，所以ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，

ax1ax2+1

ax1ax2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)
（Ⅲ）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t²）．
由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（1-t）＜f（t²-1）．
又函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，所以1-t＜t²-1，即t²+t-2＞0．
解得　t＜-2，或t＞1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的證明，抽象函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，關(guān)鍵是正確應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)解題．