Question

已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其離心率e=，且經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)x²=4y的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)B（2，0）的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的亮點(diǎn)E、F（E在B、F之間）且=λ，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，利用橢圓的離心率e=，且經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)x²=4y的焦點(diǎn)，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l方程，與橢圓方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于0，可得m的一個(gè)范圍，設(shè)出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，利用向量知識(shí)及韋達(dá)定理，即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）
∵橢圓的離心率e=，且經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)x²=4y的焦點(diǎn)
∴
∴a²=2
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意知l的斜率存在且不為零，
設(shè)l方程為x=my+2（m≠0）①，代入，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，由△＞0得m²＞2．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則
∵=λ，（x₁-2，y₁）=λ（x₂-2，y₂），
∴y₁=λy₂，
∵，
∴=
∵m²＞2，∴4＜＜8
∴4＜＜8
∵λ＞0
∴且λ≠1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用．應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．