Question

6．已知函數(shù)f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）當(dāng)m=6時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥4的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求得|x+1|+|x-2|＞6，然后分類討論去絕對(duì)值號(hào)，求解即可得到答案．
（2）由關(guān)于x的不等式f（x）≥4，得到|x+1|+|x-2|≥m+16．因?yàn)橐阎�解集是R，根據(jù)絕對(duì)值不等式可得到|x+1|+|x-2|≥3，令m+16≤3，求解即可得到答案．

解答 解：（1）由題設(shè)知：當(dāng)m=6時(shí)：|x+1|+|x-2|＞6，
不等式的解集是以下三個(gè)不等式組解集的并集：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+1+x-2＞6}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜2}\\{x+1-x+2＞6}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1-x+2＞6}\end{array}\right.$，
解得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-$\frac{5}{2}$）∪（$\frac{7}{2}$，+∞）；
（2）不等式f（x）≥4即|x+1|+|x-2|≥m+16，
∵x∈R時(shí)，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴不等式|x+1|+|x-2|≥m+16解集是R，等價(jià)于m+16≤3，
∴m的取值范圍是（-∞，-13]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用問(wèn)題，題中涉及到分類討論的思想，考查學(xué)生的靈活應(yīng)用能力，屬于中檔題目．