Question

18．在（1+x+x²）ⁿ=D_n⁰+D_n¹x+D_n²x²+…+D_n^rx^r+…+D_n^2n-1x^2n-1+D_n²ⁿx²ⁿ的展開式中，把D_n⁰，D_n¹，D_n²，…，D_n²ⁿ叫做三項(xiàng)式系數(shù)．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)D₂⁰，D₂¹，D₂²，D₂³，D₂⁴的值；
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C_n+1^m=C_n^m-1+C_n^m（1≤m≤n，m∈N，n∈N），給出一個(gè)關(guān)于三項(xiàng)式系數(shù)D_n+1^m+1（1≤m≤2n-1，m∈N，n∈N）的相似性質(zhì)，并予以證明．

Answer 1

分析 （1）由（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，即可得出．
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C_n+1^m=C_n^m-1+C_n^m（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：${D}_{n+′1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$．（1≤m≤2n-1）．由于（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）ⁿ•（1+x+x²），即（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（ D_n⁰+D_n¹x+D_n²x²+…+D_n^rx^r+…+D_n^2n-1x^2n-1+D_n²ⁿx²ⁿ）．比較上式左邊與右邊x^m+1 的系數(shù)即可得出．

解答 解：（1）因?yàn)椋▁²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
三項(xiàng)式系數(shù)D₂⁰=1，D₂¹=2，D₂²=3，D₂³=2，D₂⁴=1．
（2）（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C_n+1^m=C_n^m-1+C_n^m（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：
${D}_{n+′1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$．（1≤m≤2n-1）．
因?yàn)椋?+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）ⁿ•（1+x+x²），
所以（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（ D_n⁰+D_n¹x+D_n²x²+…+D_n^rx^r+…+D_n^2n-1x^2n-1+D_n²ⁿx²ⁿ）．
上式左邊x^m+1 的系數(shù)為${D}_{n+1}^{m+1}$，而上式右邊x^m+1 的系數(shù)為${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$．（1≤m≤2n-1）．
因此${D}_{n+′1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$．（1≤m≤2n-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、類比推理、方程思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．