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4.已知不等式2sinx4cosx4+6cos2x4-62-m≥0對(duì)于x∈[-\frac{π}{3}\frac{π}{3}]恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( �。�
A.(-∞,-\sqrt{2}]B.(-∞,\frac{\sqrt{2}}{2}]C.[\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}]D.[\sqrt{2},+∞)

分析 不等式\sqrt{2}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+\sqrt{6}cos2\frac{x}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}-m≥0對(duì)于x∈[-\frac{π}{3}\frac{π}{3}]恒成立,等價(jià)于不等式(\sqrt{2}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+\sqrt{6}cos2\frac{x}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}min≥m對(duì)于x∈[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}]恒成立,令f(x)=\sqrt{2}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+\sqrt{6}cos2\frac{x}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2},求x∈[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}]的最小值即可.

解答 解:由題意,令f(x)=\sqrt{2}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+\sqrt{6}cos2\frac{x}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2},
化簡(jiǎn)可得:f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}sin\frac{x}{2}+\sqrt{6}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}cos\frac{x}{2}=\sqrt{2}sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{3}
∵x∈[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}]
\frac{x}{2}+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6},\frac{π}{2}]
當(dāng)\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值為\frac{\sqrt{2}}{2}
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,\frac{\sqrt{2}}{2}].
故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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