Question

1．已知當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=2sinx-cosx取得最大值，則sin2θ=（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． -$\frac{3}{5}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為函數(shù)f（x）=$\sqrt{5}$sin（x+α）（其中，cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=$-\frac{1}{\sqrt{5}}$），由題意可得θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈z，再利用誘導(dǎo)公式求得sinθ和cosθ 的值，可得sin2θ．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sinx-cosx=$\sqrt{5}$sin（x+α）取得最大值時(shí)，此時(shí)x=θ，其中，cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=$-\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，
那么：sinθ=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-α）=cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
cosθ=cos（2kπ+$\frac{π}{2}$-α）=sinα=$-\frac{1}{\sqrt{5}}$
∴sin2θ=2sinθcosθ=$-\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{2}{\sqrt{5}}×2=-\frac{4}{5}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最大值，屬于基礎(chǔ)題