Question

18．已知實數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}3x+y+3≥0\\ 2x-y+2≤0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$，則z=x²+y²的取值范圍為（　　）

• A． [1，13]
• B． [1，4]
• C． $[{\frac{4}{5}，13}]$
• D． $[{\frac{4}{5}，4}]$

Answer 1

分析 根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用圖象判斷，求出目標函數(shù)的最大值．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}3x+y+3≥0\\ 2x-y+2≤0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$的可行域如圖所示，其中A（-1，0），B（-2，3），C（0，2），
若目標函數(shù)z=x²+y²的幾何意義是可行域內(nèi)的點到坐標原點距離的平方．由圖形可知僅在點B（-2，3）取得最大值，z=4+9=13．
由圖知，原點到直線2x-y+2=0的距離最小，d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
可得z=x²+y²=d²=$\frac{4}{5}$．
則z=x²+y²的取值范圍為[$\frac{4}{5}$，13]，
故選：C．

點評 用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)．判斷幾何意義，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解．