Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1-x}{ax}+lnx$在（1，+∞）上是增函數(shù)，且a＞0．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值；
（Ⅲ）已知a＞1，b＞0，證明：$\frac{1}{a+b}≤ln\frac{a+b}＜\frac{a}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，由題意可知$f'（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立，則即可求得a的取值范圍；
（Ⅱ）由$g'（x）=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}≤0$，則g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，求得g（x）最大值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1-x}{ax}+lnx$在（1，+∞）上是增函數(shù)，則$f（\frac{a+b}）＞f（1）$，化簡(jiǎn)得$\frac{1}{a+b}＜ln\frac{a+b}$，由（Ⅱ）可知$g（\frac{a}）=ln（1+\frac{a}）-\frac{a}＜g（0）=0$，即$ln\frac{a+b}＜\frac{a}$．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}$，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以$f'（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立，
即$x≥\frac{1}{a}$在（1，+∞）上恒成立，
所以只需$1≥\frac{1}{a}$，
又因?yàn)閍＞0，所以a≥1．
（Ⅱ）因?yàn)閤∈[0，+∞），所以$g'（x）=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}≤0$，
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值為g（0）=0．
（Ⅲ）證明：因?yàn)閍＞1，b＞0，所以$\frac{a+b}＞1$，由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1-x}{ax}+lnx$在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以$f（\frac{a+b}）＞f（1）$，即$\frac{{1-\frac{a+b}}}{{a•\frac{a+b}}}+ln\frac{a+b}＞0$，化簡(jiǎn)得$\frac{1}{a+b}＜ln\frac{a+b}$，又因?yàn)?\frac{a+b}=1+\frac{a}$，
由第（Ⅱ）問可知$g（\frac{a}）=ln（1+\frac{a}）-\frac{a}＜g（0）=0$，即$ln\frac{a+b}＜\frac{a}$，
綜上$\frac{1}{a+b}＜ln\frac{a+b}＜\frac{a}$得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．