Question

10．已知x，y為正實(shí)數(shù)，則$\frac{2x}{x+2y}+\frac{x+y}{x}$的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由x，y為正實(shí)數(shù)，可得$\frac{2x}{x+2y}+\frac{x+y}{x}$=$\frac{2}{1+\frac{2y}{x}}$+$\frac{y}{x}$+1，令$\frac{y}{x}$=t＞0，則f（t）=$\frac{2}{1+2t}$+t+1=$\frac{1}{t+\frac{1}{2}}$+t+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：∵x，y為正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{2x}{x+2y}+\frac{x+y}{x}$=$\frac{2}{1+\frac{2y}{x}}$+$\frac{y}{x}$+1，
令$\frac{y}{x}$=t＞0，則f（t）=$\frac{2}{1+2t}$+t+1=$\frac{1}{t+\frac{1}{2}}$+t+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$
可知：當(dāng)$\frac{1}{t+\frac{1}{2}}$=t+$\frac{1}{2}$即t=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（t）取得最小值$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了換元法和基本不等式求最小值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．