Question

3．已知拋物線y=x²的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（0，2）作直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，則四邊形OCAB面積的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)直線AB方程為y=kx+2，聯(lián)立y=x²求解，設(shè)d₁、d₂分別為F到OA、O到AB的距離，利用四邊形OCAB的面積S=S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$（OA•d₁+AB•d₂），可得S關(guān)于k的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)即可求解．

解答 解：不妨設(shè)位于第一象限的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、第二象限的交點(diǎn)為B（x₂，y₂），則x₁＞0，x₂＜0．OA的直線方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x=x₁x，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{4}$）．
設(shè)直線AB方程為y=kx+2，聯(lián)立y=x²求解，有x²-kx-2=0
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-2，△=k²+8，x₁=$\frac{1}{2}$（k+$\sqrt{{k}^{2}+8}$）①；線段AB=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{k}^{2}+8）}$②．
設(shè)d₁、d₂分別為F到OA、O到AB的距離．
∵C是F關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，∴C到OA的距離=d₁．
∴四邊形OCAB的面積S=S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$（OA•d₁+AB•d₂）．
根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，d₁=$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}}$③，d₂=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$④．
又線段OA=${x}_{1}\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}$⑤，
∴將①～⑤代入S，有S=$\frac{1}{16}$（k+17$\sqrt{{k}^{2}+8}$）．
由S對(duì)k求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)=0，可得1+$\frac{17k}{\sqrt{{k}^{2}+8}}$=0，解得k=-$\frac{1}{6}$時(shí)，S最小，其值為3．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查面積的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)，正確求出面積，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．