7.已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(3)=8,定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=$\frac{n-g(x)}{2+2g(x)}$是奇函數(shù).
(1)確定y=f(x)和y=g(x)的解析式;
(2)若對(duì)任意的x∈[1,4],不等式f(2x-3)+f(x-k)>0恒成立,求k的取值范圍.

分析 (1)設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),由a3=8解得a=2.故g(x)=2x.再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù),求出n的值,得到f(x)的解析式;
(2)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)和減函數(shù),轉(zhuǎn)化為即對(duì)一切x∈(1,4),有3tx-3<k恒成立,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可.

解答 解::(1)設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),
∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2.∴g(x)=2x.∴f(x)=$\frac{n-{2}^{x}}{2+2•{2}^{x}}$,
∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴n=1,∴f(x)=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$,(x∈R);
(2)由(Ⅰ)知f(x)=$-\frac{1}{2}•\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$,易知f(x)在R上為減函數(shù),
又f(x)是奇函數(shù),∴f(2x-3)+f(x-k)>0,∴f(2x-3)>-f(x-k)=f(k-x),
∵f(x)在R上為減函數(shù),由上式得2x-3<k-x,
即對(duì)一切x∈(1,4),有3x-3<k恒成立,
令m(x)=3x-3,x∈(1,4),
易知m(x)在(1,4)上遞增,∴m(x)<3×4-3=9,
∴k≥9,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是[9,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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