Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4-8sin²$\frac{θ}{2}$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)，θ∈[0，π]）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點，點M的直角坐標(biāo)為（2，1），若$\overrightarrow{MA}$=-2$\overrightarrow{MB}$，求直線l的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化簡極坐標(biāo)方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得出關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義得出兩根，求出sinθ，cosθ，從而寫出直線l的參數(shù)方程．

解答 解：（1）∵ρ=4-8sin²$\frac{θ}{2}$，∴ρ=4+4cosθ-4=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ．
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得：t²+2sinθ•t-3=0．
∴t₁t₂=-3，t₁+t₂=-2sinθ．
∵$\overrightarrow{MA}$=-2$\overrightarrow{MB}$，∴t₁=-2t₂，解得t₁=-$\sqrt{10}$．t₂=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，或t₁=$\sqrt{10}$，t₂=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴t₁+t₂=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴-2sinθ=$±\frac{\sqrt{10}}{2}$，∵θ∈[0，π]，∴sinθ=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$或-$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{6}}{4}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{10}}{4}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{6}}{4}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{10}}{4}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義及應(yīng)用，屬于中檔題．