Question

17．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點(diǎn)，已知|AB|等于虛軸長(zhǎng)的兩倍，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組求出A，B的坐標(biāo)和|AB|的大小，建立方程組進(jìn)行求解即可．

解答 解：不妨設(shè)直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0），
雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x
則當(dāng)x=c時(shí)，y=±$\frac{a}$•c=±$\frac{bc}{a}$
設(shè)A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），
則|AB|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|等于虛軸長(zhǎng)的兩倍，
∴$\frac{2bc}{a}$=2•（2b）=4b，
則c=2a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2a}{a}=2$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出交點(diǎn)坐標(biāo)，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．