【題目】有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)），一邊長(zhǎng)為6分米，另一邊足夠長(zhǎng)．現(xiàn)從中截取矩形（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)），其中是以為圓心、的扇形，且弧,分別與邊, 相切于點(diǎn), ．

（1）當(dāng)長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折卷成的包裝盒的容積；

（2）當(dāng)的長(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？

【答案】（1）當(dāng)長(zhǎng)為1分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積為立方分米.（2）當(dāng)的長(zhǎng)為2分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)扇形面積減去三角形面積得弓形面積，即為柱體底面積，再根據(jù)柱體體積公式求體積（2）同（1）先計(jì)算底面積，再表示高，代入柱體體積公式得容積函數(shù)關(guān)系式，最后利用導(dǎo)數(shù)求最值

試題解析：解：（1）在圖甲中，連接交于點(diǎn)．設(shè)，

在中，因?yàn)?/span>，所以，則．

從而，即.

故所得柱體的底面積

.

又所得柱體的高，

所以 .

答：當(dāng)長(zhǎng)為1分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積為立方分米.

（2）設(shè)，則，所以所得柱體的底面積

.

又所得柱體的高，

所以 ，其中.

令，則由，

解得.

列表如下：

＋

0

－

增

極大值

減

所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值.

答：當(dāng)的長(zhǎng)為2分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)的棱的棱長(zhǎng)為（ ）

A. 3 B. C. D. 2

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【題目】已知函數(shù)， （為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（Ⅱ）若函數(shù)恰有兩個(gè)不同極值點(diǎn)．

①求的取值范圍；

②求證： ．

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【題目】已知函數(shù).

（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的下頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)分別與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)均在軸右側(cè)，且時(shí)，求直線(xiàn)的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，三棱柱中，已知側(cè)面.

（1）求證： 平面；

（2）是棱長(zhǎng)上的一點(diǎn)，若二面角的正弦值為，求的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示為一正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，有下列四個(gè)命題：

①AF⊥GC；

②BD與GC成異面直線(xiàn)且?jiàn)A角為60；

③BD∥MN；

④BG與平面ABCD所成的角為45.

其中正確的個(gè)數(shù)是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,在斜三棱柱中,底面為正三角形,面⊥面, ,

.

(1)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值;

(2)設(shè)為的中點(diǎn),求面與面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)S是實(shí)數(shù)集R的非空子集，若對(duì)任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱(chēng)S為封閉集．下列命題：①集合S＝{a＋b|a，b為整數(shù)}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0∈S；③封閉集一定是無(wú)限集；④若S為封閉集，則滿(mǎn)足STR的任意集合T也是封閉集．其中真命題是________．(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))

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