【題目】已知函數(shù) 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),的最小值;

(Ⅱ)若函數(shù)恰有兩個(gè)不同極值點(diǎn)

①求的取值范圍;

②求證:

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) ,②見解析.

【解析】試題分析:求出,令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性可得的最小值;(恰有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)當(dāng)時(shí), 恒成立, 上單調(diào)遞減,不合要求;當(dāng)時(shí),研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得的取值范圍,②不妨設(shè),則有: ,可得,令,原不等式等價(jià)于 ,驗(yàn)證函數(shù)的最大值小于零即可得結(jié)論.

試題解析:(Ⅰ) , ,

所以上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

,

時(shí),恒有

上單調(diào)遞增,

(Ⅱ),恰有兩個(gè)極值點(diǎn)

等價(jià)于上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)

,

當(dāng)時(shí) 恒成立, 上單調(diào)遞減不合要求;

當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

,,

, ,

此時(shí) ,

故當(dāng)時(shí), 上各恰有一個(gè)零點(diǎn),

即當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)

另法考查

②不妨設(shè),則有 ,兩式相加與相減得 ,

,

,令,

, ,

考查函數(shù), , 恒成立于,

上單調(diào)遞增,則恒有

, 成立,

故命題得證

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】數(shù)列 滿足: 或1().對(duì)任意,都存在,使得.,其中 且兩兩不相等.

(I)若.寫出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào);

①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2

(Ⅱ)記.若,證明: ;

(Ⅲ)若,求的最小值.

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【題目】如圖,已知橢圓 的離心率為,上、下頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,且異于點(diǎn),直線與直線 分別交于點(diǎn)、,面積的最大值為.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)求線段的長的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直線lyxb (b>0),拋物線Cy22px(p>0),已知點(diǎn)P(2,2)在拋物線C上,且拋物線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為.

(1)求直線l及拋物線C的方程;

(2)過點(diǎn)Q(2,1)的任一直線(不經(jīng)過點(diǎn)P)與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),直線AB與直線l相交于點(diǎn)M,記直線PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2k3.問:是否存在實(shí)數(shù)λ,使得k1k2λk3?若存在,試求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,直線與直線垂直,橢圓經(jīng)過點(diǎn)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的弦.若弦的中點(diǎn)分別為,證明:直線恒過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)數(shù)列滿足:所有項(xiàng);

設(shè)集合,將集合中的元素的最大值記為.換句話說,

數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值我們稱數(shù)列為數(shù)列

伴隨數(shù)列例如,數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3

1若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3,請(qǐng)寫出數(shù)列

2設(shè),求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和;

(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和(其中常數(shù)),試求數(shù)列的伴隨數(shù)列項(xiàng)和

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) (m,n∈R)在x=1處取得極值2.

(1)求f(x)的解析式;

(2)k為何值時(shí),方程f(x)-k=0只有1個(gè)根

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2ax+a,若對(duì)于任意x1∈R,總存在x2∈[-1,0],使得g(x2)≤f(x1),求a的取值范圍

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有一矩形硬紙板材料(厚度忽略不計(jì)),一邊長為6分米,另一邊足夠長.現(xiàn)從中截取矩形(如圖甲所示),再剪去圖中陰影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒(如圖乙所示,重疊部分忽略不計(jì)),其中是以為圓心、的扇形,且弧,分別與邊, 相切于點(diǎn),

(1)當(dāng)長為1分米時(shí),求折卷成的包裝盒的容積;

(2)當(dāng)的長是多少分米時(shí),折卷成的包裝盒的容積最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知坐標(biāo)平面上動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn), ,且.

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(2)記(1)中軌跡為,過點(diǎn)的直線所截得的線段長度為8,求直線的方程.

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