Question

在平面上取定一點(diǎn)O，從O出發(fā)引一條射線Ox，再取定一個長度單位及計算角度的正方向（取逆時針方向?yàn)檎�），就稱建立了一個極坐標(biāo)系，這樣，平面上任一點(diǎn)P的位置可用有序數(shù)對（ρ，θ）確定，其中ρ表示線段OP的長度，θ表示從Ox到OP的角度．在極坐標(biāo)系下，給出下列命題：
（1）平面上的點(diǎn)A（2，-

π

6

）與B（2，2kπ+

11π

6

）（k∈Z）重合；
（2）方程θ=

π

3

和方程ρsinθ=2分別都表示一條直線；
（3）動點(diǎn)A在曲線ρ（cos²

θ

2

-

1

2

）=2上，則點(diǎn)A與點(diǎn)O的最短距離為2；
（4）已知兩點(diǎn)A（4，

2π

3

），B（

4 3

3

，

π

6

），動點(diǎn)C在曲線ρ=8上，則△ABC面積的最大值為

40 3

3

．
其中正確命題的序號為

 

（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由極坐標(biāo)的定義即可判斷出；
（2）方程θ=

π

3

表示直線y=

3

x，方程ρsinθ=2表示直線y=2；
（3）由曲線ρ（cos²

θ

2

-

1

2

）=2利用倍角公式化為ρcosθ=4，即x=4，即可得出點(diǎn)A與點(diǎn)O的最短距離；
（4）點(diǎn)A（4，

2π

3

）化為(-2，2

3

)，B（

4 3

3

，

π

6

）化為(2，

2 3

3

)，曲線ρ=8化為x²+y²=64，則△ABC面積的最大值為

40 3

3

．利用點(diǎn)斜式可得直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d=2，可得圓上的點(diǎn)到直線AB的距離d的最大值為d+r=10，即可得出△ABC面積的最大值為

1

2

|AB|×10．

解答： 解：（1）平面上的點(diǎn)A（2，-

π

6

）與B（2，2kπ+

11π

6

）（k∈Z）重合，正確；
（2）方程θ=

π

3

表示直線y=

3

x，方程ρsinθ=2表示直線y=2，分別都表示一條直線，正確；
（3）曲線ρ（cos²

θ

2

-

1

2

）=2化為ρ(

cosθ+1

2

-

1

2

)=2，化為ρcosθ=4，即x=4，則點(diǎn)A與點(diǎn)O的最短距離為4，因此不正確；
（4）點(diǎn)A（4，

2π

3

）化為(-2，2

3

)，B（

4 3

3

，

π

6

）化為(2，

2 3

3

)，曲線ρ=8化為x²+y²=64，則△ABC面積的最大值為

40 3

3

．∴直線AB的方程為：y-2

3

=-

3

3

（x+2），化為x+

3

y-4=0，∴圓心到直線的距離d=

|4|

1+( 3 )2

=2，∴圓上的點(diǎn)到直線AB的距離d的最大值為d+r=10，|AB|=

42+( 4 3 3 )2

=

8 3

3

．∴△ABC面積的最大值為

1

2

|AB|×10=

40 3

3

，因此正確．
其中正確命題的序號為（1）（2）（4）．
故答案為：（1）（2）（4）．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．