已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-3x-
3
4
．定義函數(shù)f（x）與實數(shù)m的一種符號運算為m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函數(shù)值f（x）大于0的x的取值范圍；
（2）若g(x)=4?f(x)+
7
2
x2，求g（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值與最小值．
分析：（1）利用數(shù)軸標根法即可求解f（x）大于0的x的取值范圍．
（2）利用函數(shù)f（x）與實數(shù)m的一種符號運算的定義再化簡可獲得g（x）=2x3-
21
2
x2+9x+3分析此函數(shù)的特征需利用導數(shù)判斷其在區(qū)間[0，4]上單調(diào)性然后利用單調(diào)性求最值．
解答：解：（1）由f（x）＞0，得
1
2
x2-3x-
3
4
＞0
即2x2-12x-3＞0，解得x＜3-
42
2
或x＞3+
42
2
．
所以，x的取值范圍為 (-∞，3-
42
2
)∪(3+
42
2
，+∞)
（2）g(x)=4?f(x)+
7
2
x2=(
1
2
x2-3x-
3
4
)•{[
1
2
(x+4)2-3(x+4)-
3
4
]-(
1
2
x2-3x-
3
4
)}+
7
2
x2
=(
1
2
x2-3x-
3
4
)•(
1
2
×8x+
1
2
×16-3×4)+
7
2
x2
=(
1
2
x2-3x-
3
4
)•(4x-4)+
7
2
x2
=2x3-
21
2
x2+9x+3
對g（x）求導，得g'（x）=6x2-21x+9=3（x-3）（2x-1）
令g'（x）=0，解得x=
1
2
或x=3
當x變化時，g'（x）、g（x）的變化情況如下表：
x 0 (0，
1
2
)
1
2
 (
1
2
，3)		 3 （3，4） 4
g'（x） + 0 - 0 +
g（x） 3 ↗
41
8
 ↘ -
21
2
 ↗ -1
所以，g（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為
41
8
，最小值為-
21
2
點評：本題主要考查了里利用數(shù)軸標根法解一元二次不等式和導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求函數(shù)的最值．第一問屬常規(guī)題目較簡單而第二問要判斷導函數(shù)g'（x）=6x2-21x+9=3（x-3）（2x-1）在區(qū)間[0，4]上的正負進而判斷函數(shù)的單調(diào)性這一步十分重要！
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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