Question

已知圓C的圓心坐標(biāo)為（3，4），直線l：2x+y=0與圓C相切于點P₁．
（1）求圓C的方程；
（2）過點P₁作斜率為2的直線交x軸于點Q₁（x₁，0），過Q₁作x軸的垂線交l于點P₂，過P₂作斜率為4的直線交x軸于點Q₂（x₂，0），…，如此下去．一般地，過點P_n作斜率為2ⁿ的直線交x軸于點Q_n（x_n，0），再過Q_n作x軸的垂線交l于點P_n+1，…
①求點P₁和P₂的坐標(biāo)；
②求x_n+1與x_n的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出．
（2）①聯(lián)立

2x+y=0 (x-3)2+(y-4)2=20

，解得P₁，利用點斜式可得直線P₁Q₁的方程，令y=0，可得Q₁，
聯(lián)立

2x+y=0 x=-2

，解得P₂；
②設(shè)Q_n（x_n，0），則P_n+1（x_n，-2x_n），Q_n+1（x_n+1，0），則Q_n+1P_n+1的斜率為2ⁿ⁺¹，
即

-2xn-0

xn-xn+1

=2n+1，即可．

解答：解：（1）圓心到直線l的距離d=

|10|

5

=2

5

，
則圓C的方程為（x-3）²+（y-4）²=20；
（2）①聯(lián)立

2x+y=0 (x-3)2+(y-4)2=20

，解得

x=-1 y=2

，∴P₁（-1，2），
直線P₁Q₁的方程為y-2=2（x+1），令y=0，解得x=-2．
∴Q₁（-2，0），
聯(lián)立

2x+y=0 x=-2

，解得

x=-2 y=4

，
∴P₂（-2，4）；
②設(shè)Q_n（x_n，0），則P_n+1（x_n，-2x_n），Q_n+1（x_n+1，0），
則Q_n+1P_n+1的斜率為2ⁿ⁺¹，
即

-2xn-0

xn-xn+1

=2n+1，
∴xn+1=(1+

1

2n

)xn．

點評：熟練掌握點到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的方程、斜率計算公式等是解題的關(guān)鍵．