Question

在以O為坐標原點的直角坐標系中，，點A（4，-3），B點在第一象限且到x軸的距離為5．
（1） 求向量的坐標及OB所在的直線方程；
（2） 求圓（x-3^）2+（y+1^）2=10關于直線OB對稱的圓的方程；
（3） 設直線l為方向向量且過（0，a）點，問是否存在實數a，使得橢圓+y²=1上有兩個不同的點關于直線l對稱．若不存在，請說明理由； 存在請求出實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設B（x，5），則，，由，可得4（x-4）-24=0，x=10，由此能夠求出向量的坐標及OB所在的直線方程．
（2）設圓心關于直線OB的對稱點坐標為（x₁，y₁），由（x-3）²+（y+1）²=10，可知圓心為（3，-1），半徑為．由方程知，由此能夠推導出所求圓的方程．
（3）假設橢圓上存在兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）關于直線l對稱，設其中點坐標為M（x，y）由已知直線l的方程為，可設直線AB的方程為，將其與已知橢圓方程聯立得5x²-12mx+8m²-8=0．再由韋達定理進行求解．
解答：解：（1）設B（x，5），
則，，
由，可得，
∴4（x-4）-24=0，x=10，
∴B（10，5），∴，
OB所在的直線方程是：（5分）
（2）設圓心關于直線OB的對稱點坐標為（x₁，y₁），
由（x-3）²+（y+1）²=10，
可知圓心為（3，-1），半徑為．
由方程知，
∴，又點在上
∴得，∴，
故所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10．（10分）
（3）假設橢圓上存在兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）關于直線l對稱，
設其中點坐標為M（x，y），
由已知直線l的方程為，
可設直線AB的方程為
將其與已知橢圓方程聯立，
得5x²-12mx+8m²-8=0．
由韋達定理知，
．（12分）
中點M（x，y）在圓的內部可知，
解得m²＜10．
又M（x，y）在直線l上，
故，
解得代入m²＜10
解得，
即存在滿足題意的實數a，
其取值范圍為．（16分）
點評：本題考查圓的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地選取用公式．