Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x），a＞0且a≠1且設(shè)h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷h（x）的奇偶性，并加以證明；
（Ⅲ）當(dāng)f（x）＞g（x）時(shí)，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
要使函數(shù)h（x）有意義，可得

2+x＞0 2-x＞0

，解得即可．
（II）判斷h（-x）與±h（x）的關(guān)系即可得出．
（III）log_a（2+x）＞log_a（2-x）．分類討論：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)1＜a時(shí)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
∴

2+x＞0 2-x＞0

，解得-2＜x＜2．
∴函數(shù)h（x）的定義域?yàn)椋?2，2）．
（II）∵h(yuǎn)（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-h（x），
∴函數(shù)h（x）為奇函數(shù)．
（III）∵f（x）＞g（x），∴l(xiāng)og_a（2+x）＞log_a（2-x）．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜2+x＜2-x，解得-2＜x＜0，即x的取值范圍是（-2，0）．
當(dāng)1＜a時(shí)，2+x＞2-x＞0，解得0＜x＜2，即x的取值范圍是（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)類型函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．