Question

16．已知函數(shù)解析式為f（x）=4•9^x+3^x+2．
（1）若已知函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若已知函數(shù)f（x）的值域為[7，+∞），求f（x）的定義域．

Answer 1

分析 （1）利用換元法，設(shè)3^x=t，則t∈（$\frac{1}{3}$，3），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域；
（2）根據(jù)函數(shù)的值域得到4t²+t+2≥7，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解得即可．

解答 解：（1）設(shè)3^x=t，則t∈（$\frac{1}{3}$，3），
則f（t）=4t²+t+2，
因為f（t）的對稱軸為x=-$\frac{1}{8}$，
所以f（t）在∈（$\frac{1}{3}$，3）為增函數(shù)，
因為f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{25}{9}$，f（3）=41，
所以函數(shù)f（x）的值域為（$\frac{25}{9}$，41）；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）的值域為[7，+∞），
則f（t）的值域為[7，+∞），
所以4t²+t+2≥7，
解得t≥1，
所以3^x≥1，
所以x≥0，
故函數(shù)的定義域為[0，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域和值域的求法，以及指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．