Question

把邊長為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，構(gòu)成三棱錐ABCD，則下列命題：
①以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐體積最大值為

2

12

；
②當(dāng)體積最大時(shí)直線BD和平面ABC所成的角的大小為45°；
③B、D兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是（0，

2

]；
④當(dāng)二面角D-AC-B的平面角為90°時(shí)，異面直線BC與AD所成角為45°．
其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：把邊長為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，構(gòu)成三棱錐ABCD，如圖所示，則下列命題：
①以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐，當(dāng)側(cè)面ACD⊥底面ABC時(shí)，體積最大值=

1

3

×

2

2

×

1

2

×1×1=

2

12

；
②由①可知：當(dāng)體積最大時(shí)直線BD和平面ABC所成的角的大小為∠OBD=45°；
③B、D兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是（0，

2

）；
④當(dāng)二面角D-AC-B的平面角為90°時(shí)，由①可知：異面直線BC與AD所成角為90°．

解答： 解：把邊長為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，構(gòu)成三棱錐ABCD，如圖所示，則下列命題：
①以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐，當(dāng)側(cè)面ACD⊥底面ABC時(shí)，體積最大值=

1

3

×

2

2

×

1

2

×1×1=

2

12

，正確；
②由①可知：當(dāng)體積最大時(shí)直線BD和平面ABC所成的角的大小為∠OBD=45°，正確；
③B、D兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是（0，

2

），因此不正確；
④當(dāng)二面角D-AC-B的平面角為90°時(shí)，由①可知：異面直線BC與AD所成角為90°，因此不正確．
綜上可知：只有①②正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三棱錐的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)、線面角、異面直線所成的角、空間中兩點(diǎn)之間的距離、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．