Question

已知S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n＞0，S_n=80，S_2n=6560，前n項(xiàng)中的數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求S₁₀₀．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可得qⁿ=81，數(shù)列{a_n}是遞增的數(shù)列故

an=a1qn-1=54 Sn= a1(1-qn) 1-q =80

，可解的a₁和q，代入求和公式計(jì)算可得．

解答： 解：∵Sn=a1+…+an，S2n-Sn=an+1+ …+a2n=(a1+…+an)qn，
∵S_2n-S_n＞S_n，∴兩式相比可得qⁿ=81＞1，
∴數(shù)列{a_n}是遞增的數(shù)列，前n項(xiàng)中的數(shù)值最大的項(xiàng)為a_n，故a_n=54，
∴

an=a1qn-1=54 Sn= a1(1-qn) 1-q =80

，∴

a1 q = 2 3 a1 q-1 =1

，
解得

a1=2 q=3

，
∴S₁₀₀=

a1(1-q100)

1-q

=3¹⁰⁰-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及數(shù)列的單調(diào)性的判定，屬基礎(chǔ)題．