Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²x+bsinxcosx滿足f（

π

6

）=2．
（1）求實(shí)數(shù)b的值以及函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）記g（x）=f（x+t），若函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=1-cos2x+

b

2

sin2x，由f（

π

6

）=2．有1-cos2×

π

6

+

b

2

sin2×

π

6

=1-

1

2

+

b

2

×

3

2

=2，從而解得b=2

3

，有f（x）=1-cos2x+

b

2

sin2x=1-cos2x+

3

sin2x=1-2sin（2x-

π

6

），從而可求T=

2π

2

=π．
（2）由g（x）=f（x+t）=1-2sin[2（x+t）-

π

6

]=1-2sin（2x+2t-

π

6

），函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，從而有2t-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，從而解得t=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z

解答： 解：（1）f（x）=2sin²x+bsinxcosx=1-cos2x+

b

2

sin2x
∵f（

π

6

）=2．
∴1-cos2×

π

6

+

b

2

sin2×

π

6

=1-

1

2

+

b

2

×

3

2

=2，從而解得b=2

3

∴f（x）=1-cos2x+

b

2

sin2x=1-cos2x+

3

sin2x=1-2sin（2x-

π

6

）
∴T=

2π

2

=π
即函數(shù)f（x）的最小正周期是π．
（2）g（x）=f（x+t）=1-2sin[2（x+t）-

π

6

]=1-2sin（2x+2t-

π

6

）
∵函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，
∴2t-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，從而解得t=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．