如圖，直線y=kx+b與橢圓
x2
4
+y2=1交于A，B兩點，記△AOB的面積為S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ）當|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程．
（Ⅰ）設點A的坐標為（x1，b），點B的坐標為（x2，b），
由
x2
4
+b2=1，解得x1，2=±2
1-b2
，
所以S=
1
2
b•|x1-x2|=2b•
1-b2
≤b2+1-b2=1．
當且僅當b=
2
2
時，S取到最大值1．

（Ⅱ）由
y=kx+b
x2
4
+y2=1

得(k2+
1
4
)x2+2kbx+b2-1=0，①
△=4k2-b2+1，
|AB|=
1+k2
•|x2-x1|=
1+k2
•
4k2-b2+1
1
4
+k2
=2．②
設O到AB的距離為d，則d=
2S
|AB|
=1，
又因為d=
|b|
1+k2
，
所以b2=k2+1，代入②式并整理，得k4-k2+
1
4
=0，
解得k2=
1
2
，b2=
3
2
，代入①式檢驗，△＞0，
故直線AB的方程是y=
2
2
x+
6
2
或y=
2
2
x-
6
2
或y=-
2
2
x+
6
2
，或y=-
2
2
x-
6
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓E1方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圓E2方程為x2+y2=a2，過橢圓的左頂點A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C．
（Ⅰ）若k1=1時，B恰好為線段AC的中點，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=
1
2
，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，當|BA|+|BF2|=2a時，求k1的值；
（Ⅲ）設D為圓E2上不同于A的一點，直線AD的斜率為k2，當
k1
k2
=
b2
a2
時，試問直線BD是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線方程為y2=8x．直線l1過拋物線的焦點F，且傾斜角為45°，直線l1與拋物線相交于C、D兩點，O為原點．
（1）寫出直線l1方程
（2）求CD的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P（-1，
3
2
）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
①求橢圓C的方程；
②設A、B是橢圓C上兩個動點，滿足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）求直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，M是拋物線y2=x上的一個定點，動弦ME、MF分別與x軸交于不同的點A、B，且|MA|=|MB|．證明：直線EF的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

以橢圓
x2
16
+
y2
4
=1內的點M（1，1）為中點的弦所在直線方程為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
4
3
，|PF2|=
14
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過點M（-2，1），交橢圓C于A，B兩點，且M恰是A，B中點，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y=3x+2過拋物線y=ax2（a＞0）的焦點．
（1）求拋物線方程；
（2）設拋物線的一條切線l1，若l1∥l，求切點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設點P在曲線y=x2上，從原點向A（2，4）移動，如果直線OP，曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2．
（Ⅰ）當S1=S2時，求點P的坐標；
（Ⅱ）當S1+S2有最小值時，求點P的坐標和最小值．

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