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橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
4
3
，|PF2|=
14
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過點M（-2，1），交橢圓C于A，B兩點，且M恰是A，B中點，求直線l的方程．
（Ⅰ）因為點P在橢圓C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．
在Rt△PF1F2中，|F1F2|=
|PF2|2-|PF1|2
=2
5
，故橢圓的半焦距c=
5
，從而b2=a2-c2=4，
所以橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
4
=1．（6分）
（Ⅱ）設A，B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）．若直線l斜率不存在，顯然不合題意．
從而可設過點（-2，1）的直線l的方程為y=k（x+2）+1，
代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0．
因為A，B關于點M對稱，所以
x1+x2
2
=-
18k2+9k
4+9k2
=-2，解得k=
8
9
，
所以直線l的方程為y=
8
9
(x+2)+1，即8x-9y+25=0．
經檢驗，△＞0，所以所求直線方程符合題意．（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的兩條漸近線方程是y=x和y=-x，且過點D(
2
，
3
)．l1，l2是過點P(-
2
，0)的兩條互相垂直的直線，且l1，l2與雙曲線各有兩個交點，分別為A1，B1和A2，B2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）求l1斜率的范圍
（3）若|A1B1|=
5
|A2B2|，求l1的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=6x，過點p（3，1）引一條弦p1p2使它恰好被點p平分，求這條弦所在直線方程及|p1p2|．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直線y=kx+b與橢圓
x2
4
+y2=1交于A，B兩點，記△AOB的面積為S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ）當|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（文科）一動圓過定點P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動點記為A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求證：直線AB過一定點，并求該定點坐標；
②求|PA|+|PB|的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的焦點，P為橢圓上的點，PF1⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長軸頂點A和短軸頂點B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點，證明∠F1QF2≤
π
2

（3）過F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△MF2N的面積為20
3
，求橢圓方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點的雙曲線C的離心率為
2
3
3
，一條準線方程為x=
3
2

（1）求雙曲線C的標準方程
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知斜率為1的直線l過橢圓
x2
4
+y2=1的右焦點F2．
（1）求直線l的方程；
（2）若l與橢圓交于點A、B兩點，F(xiàn)1為橢圓左焦點，求S△F1AB．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

拋物線y2=4x的一條弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程式為______．

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