Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-3x，且x=1在處函數(shù)取得極值．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；   
（2）若g（x）=x²-2x-1（x＞0）
①證明：g（x）的圖象不能在y=f（x）圖象的下方；
②證明不等式（2n+1）²＞4ln（n!）恒成立．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)在x=1時函數(shù)f（x）取得極值求出a的值，最后根據(jù)f′（x）＜0可求出函數(shù)的減區(qū)間，f′（x）＞0可求出函數(shù)的增區(qū)間；
（2）①設(shè)F（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F（x）的最大值，從而可判定F（x）的符號，即可證得g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方；
②由①可知，lnx-x+1≤0，可得lnx＜x恒成立，從而有l(wèi)n1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，lnn＜n，累加可得ln（1×2×3×…×n）=lnn!＜$\frac{n（n+1）}{2}$，然后利用放縮法可證得結(jié)論．

解答 解：（1）由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-3=$\frac{2{ax}^{2}-3x+1}{x}$，
∵x=1處函數(shù)f（x）取得極值．
∴f′（1）=0，即2a-3+1=0，解得a=1
即f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）；
（2）證明：①設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F(xiàn)′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∵當(dāng)x∈（0，1）時，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）≤F（1）=0即f（x）＜g（x）恒成立，
從而g（x）的圖象不能在f（x）圖象的上方；
②由①可知，lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1∴l(xiāng)nx＜x恒成立
從而有l(wèi)n1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，lnn＜n，
累加得ln1+ln2+ln3+…+lnn＜1+2+3+…+n
即ln（1×2×3×…×n）=lnn!＜$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵$\frac{n（n+1）}{2}$＜（ $\frac{n+n+1}{2}$）²，
∴$\frac{{（2n+1）}^{2}}{4}$＞ln（n!）即（2n+1）²＞4ln（n!）．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題以及不等式的證明，同時考查了計算能力，屬于中檔題．