Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，△ABC是正三角形，AC△與BD的交點(diǎn)M恰好是AC的中點(diǎn)，又是PA=AB=2，∠CDA=120°．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥BD，AC⊥BD，從而BD⊥面PAC，由此能證明BD⊥PC．
（Ⅱ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵△ABC是正三角形，M為AC的中點(diǎn)
∴AC⊥BD，
∵AP∩AC=A，
∴BD⊥面PAC，PC?面PAC，
∴BD⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）解：∵AC⊥BD，M為AC中點(diǎn)，
∴AD=DC，又∠ADC=120°，
∴∠CAD=30°，∴∠BAD=90°，
以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），P（0，0，2），
B（2，0，0），C（1，

3

，0），D（0，

2 3

3

，0），
則

BD

=（-2，

2 3

3

，0），

PC

=（1，

3

，-2），

PD

=（0，

2 3

3

，-2），
由（Ⅰ）得BD⊥平面PAC，取面PAC的法向量為

n1

=（

3

，-1，0），
設(shè)面PBC的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），
由

PC • n2 =x2+ 3 y2-2z2=0 PD • n2 = 3 y2-2z2=0

，
取一個(gè)法向量為

n2

=（-1，

3

，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-2 3

2• 5

=-

15

5

，
∴二面角A-PC-D的余弦值為

15

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．