Question

15．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，AC=1，∠ACB=90°，則此球的體積等于（　　）

• A． $\frac{40\sqrt{10}}{3}$π
• B． $\frac{64\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• D． 8π

Answer 1

分析 利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為為$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，AC=1，∠ACB=90°，求出AA₁，再求出△ABC外接圓的半徑，即可求得球的半徑，從而可求球的體積．

解答 解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，AC=1，∠ACB=90°，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×$AA₁=$\sqrt{3}$
∴AA₁=2，
∵BC=$\sqrt{3}$，AC=1，∠ACB=90°，△ABC外接圓的半徑R=1，
∴外接球的半徑為$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴球的體積等于$\frac{4}{3}π•（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π，
故選：C．

點評 本題考查球的體積，考查棱柱的體積，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．