Question

4．在極坐標(biāo)系Ox中，A（1，$\frac{π}{3}$），將點(diǎn)A繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{3}$，然后極徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到點(diǎn)B．以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，x軸與極軸重合，建立直角坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數(shù)）．
（I）求B在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；
（Ⅱ）點(diǎn)P為曲線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)，求△APB面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)極坐標(biāo)的幾何意義得出直角坐標(biāo)．
（II）求出|AB|和直線(xiàn)AB的方程，求得P到直線(xiàn)AB的最大距離，代入三角形的面積公式求出最大面積．

解答 解：（I）B點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，$\frac{2π}{3}$），2cos$\frac{2π}{3}$=-1，2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴B的直角坐標(biāo)方程為（-1，$\sqrt{3}$）．
（II）點(diǎn)A的直角坐標(biāo)方程為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴直線(xiàn)AB的方程x+$\sqrt{3}$y-2=0．|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{2}+1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
P到直線(xiàn)AB的距離d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-3|}{2}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{6}）-3|}{2}$，
∴當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{6}$）=-1時(shí)，d取得最大值$\frac{5}{2}$．
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}|AB|•d$≤$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{5}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．