Question

16．雙曲線C的一條漸近線方程是：x-2y=0，且曲線C過點$（2\sqrt{2}，1）$．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)曲線C的左、右頂點分別是A₁、A₂，P為曲線C上任意一點，PA₁、PA₂分別與直線l：x=1交于M、N，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的漸近線方程利用待定系數(shù)法進行求解即可．
（2）聯(lián)立方程組求出交點坐標，結(jié)合兩點間的距離公式進行求解即可．

解答 解：（1）由漸近線方程可知，雙曲線C的方程為x²-4y²=k，把$（2\sqrt{2}，1）$代入可得k=4，
所以雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．（4分）
（2）由雙曲線的對稱性可知，P在右支上時，|MN|取最小值．
由上可得A₁（-2，0），A₂（2，0），根據(jù)雙曲線方程可得$\frac{y}{x-2}•\frac{y}{x+2}=\frac{1}{4}$，
所以設(shè)直線PA₁、PA₂的斜率分別為k₁、k₂（k₁、k₂＞0），
則${k_1}{k_2}=\frac{1}{4}$．PA₁的方程為y=k₁（x+2），令x=1，解得M（1，3k₁）
，PA₂的方程為y=k₂（x-2），令x=1，解得N（1，-k₂），
所以|MN|=$|{3{k_1}-（-{k_2}）}|=3{k_1}+{k_2}≥2\sqrt{3{k_1}{k_2}}=\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)3k₁=k₂，即${k_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}，{k_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時等號成立．（12分）

點評 本題主要考查雙曲線方程的求解以及兩點間距離的計算，考查學(xué)生的運算能力．