Question

【題目】設(shè)，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)是否存在零點(diǎn)？說明理由；

（3）設(shè)在處取得最小值，求的最大值

Answer 1

【答案】（1）在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）故時(shí)，存在唯一零點(diǎn)；（3）．

【解析】

試題（1）求單調(diào)區(qū)間，只要求得導(dǎo)數(shù)，解不等式確定增區(qū)間，確定減區(qū)間；（2），令，通過它的導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，然后確定函數(shù)值，，從而說明有唯一零點(diǎn)（也可直接用零點(diǎn)存在定理確定，不必要研究單調(diào)性）；（3）首先確定，由（2）的唯一零點(diǎn)就是的最小值點(diǎn)，由可把用表示出來，接著計(jì)算，把用的代數(shù)式替換后得到一個(gè)的函數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得最值．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，由于，且時(shí)，；時(shí)，，所以在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

（2），令，所以

因?yàn)?/span>，所以，所以在單調(diào)遞增

因?yàn)?/span>，又

所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)必有零點(diǎn)，且唯一；

當(dāng)時(shí)，，而

故時(shí)，存在唯一零點(diǎn)

（3）由（2）可知存在唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，由條件可得，的最小值為

由于，所以

所以

設(shè)

則

令，得；令，得

故在的單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以

故的最大值是