Question

【題目】已知四棱錐，，，，點(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn)，．

（1）求證：直線(xiàn)平面；

（2）若，、分別為、的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

（3）當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）

【解析】

（1）連接，由題意可得出平面，可得出，由等腰三角形三線(xiàn)合一的思想可得出，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得出結(jié)論；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，先由求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量法可求出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

（3）設(shè)，則，，利用基本不等式求出三棱錐體積的最大值，求出的值，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求出二面角的大�。�

（1）連接，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

又因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)，故．

又，所以平面；

（2）以為原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，，，，

于是，解得．即．

所以，，

設(shè)平面的法向量為，，，

則，令，得，

所以．

故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為；

（3）設(shè)，則，，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，

以為原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，，，．

設(shè)平面的法向量為，，，

則，令，得，

同理，可得平面的一個(gè)法向量為的，

所以，

又因?yàn)槎�面�?/span>為鈍二面角，所以二面角的大小為．