【題目】已知四棱錐,,,,點(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn),.
(1)求證:直線平面;
(2)若,、分別為、的中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值;
(3)當(dāng)四棱錐的體積最大時,求二面角的大。
【答案】(1)證明見解析(2)(3)
【解析】
(1)連接,由題意可得出平面,可得出,由等腰三角形三線合一的思想可得出,再利用線面垂直的判定定理可得出結(jié)論;
(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系,先由求出點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用空間向量法可求出直線與平面所成角的正弦值;
(3)設(shè),則,,利用基本不等式求出三棱錐體積的最大值,求出的值,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求出二面角的大。
(1)連接,因?yàn)?/span>平面,平面,所以,
又因?yàn)?/span>,且為的中點(diǎn),故.
又,所以平面;
(2)以為原點(diǎn),、所在直線分別為、軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示,
則,,,,
于是,解得.即.
所以,,
設(shè)平面的法向量為,,,
則,令,得,
所以.
故直線與平面所成角的正弦值為;
(3)設(shè),則,,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,此時,,
以為原點(diǎn),、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
則,,,.
設(shè)平面的法向量為,,,
則,令,得,
同理,可得平面的一個法向量為的,
所以,
又因?yàn)槎娼?/span>為鈍二面角,所以二面角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn),求函數(shù)在上的最大值;
(2)設(shè)函數(shù)在和兩處取到極值,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若T3=21,求S3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系.已知直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為().
(Ⅰ)設(shè)為參數(shù),若,求直線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)已知直線與曲線交于,,設(shè),且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校食堂對30名高三學(xué)生偏愛蔬菜與偏愛肉類進(jìn)行了一次調(diào)查,將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成如下表格:
偏愛蔬菜 | 偏愛肉類 | |
男生人 | 4 | 8 |
女生人 | 16 | 2 |
(1)求這30名學(xué)生中偏愛蔬菜的概率;
(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),是否有99.5%的把握認(rèn)為偏愛蔬菜與偏愛肉類與性別有關(guān)?
附:,.
0 | 0 | 0 | |
6 | 7 | 10.8 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校計(jì)劃舉辦“國學(xué)”系列講座.由于條件限制,按男、女生比例采取分層抽樣的方法,從某班選出10人參加活動,在活動前,對所選的10名同學(xué)進(jìn)行了國學(xué)素養(yǎng)測試,這10名同學(xué)的性別和測試成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.
(1)分別計(jì)算這10名同學(xué)中,男女生測試的平均成績;
(2)若這10名同學(xué)中,男生和女生的國學(xué)素養(yǎng)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差分別為S1,S2,試比較S1與S2的大。ú槐赜(jì)算,只需直接寫出結(jié)果);
(3)規(guī)定成績大于等于75分為優(yōu)良,從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取一男一女兩名同學(xué),求這兩名同學(xué)的國學(xué)素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)函數(shù)是否存在零點(diǎn)?說明理由;
(3)設(shè)在處取得最小值,求的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè) A 、B 、Ai 為集合.
(1)滿足 A ∪ B ={a , b}的集合有序?qū)?/span>(A , B)有多少對 ? 為什么 ?
(2)滿足 A ∪ B ={a1 , a2 , …, }的集合有序?qū)?/span>(A , B)有多少對? 為什么?
(3)滿足的集合有序組有多少組? 為什么 ?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(0,+∞)上單調(diào)遞減的為( )
A. y=ln(3﹣x2) B. y=cosx C. y=x﹣2 D.
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