Question

16．已知圓C₁：x²+y²=b²與橢圓C₂：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，若在橢圓C₂上存在一點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C₁的兩條切線(xiàn)互相垂直，則橢圓C₂的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• B． $[\frac{1}{2}，1）$
• C． $[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
• D． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），由題意列出方程組求出$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{2{m}^{2}}$，從而$e=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{m}^{2}}}$，由此能求出橢圓C₂的離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（m，n），由題意知$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=2^{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴b²m²=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$a²-a²n²=${a}^{2}•\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{2}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{2{m}^{2}}$，
∴$e=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2{m}^{2}-{m}^{2}+{n}^{2}}{2{m}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2{m}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{m}^{2}}}$，
∵-a≤m≤a，
∴m=b時(shí)，e_max→$\sqrt{2-1}$=1，
m=a時(shí)，e_min=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴e_min=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，∴橢圓C₂的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用．