Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$．
（1）求曲線C₁的參數(shù)方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）記曲線C₁與曲線C₂交于M，N兩點(diǎn)，求線段 MN的長度．

Answer 1

分析 （1）對C₁的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，得出普通方程，再化為參數(shù)方程，將C₂的極坐標(biāo)方程展開得到直角坐標(biāo)方程；
（2）將兩曲線普通方程聯(lián)立方程組，解出M，N坐標(biāo)計(jì)算距離．

解答 解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，故曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，即（$\frac{x-2}{2}$）²+（$\frac{y}{2}$）²=1．
令$\frac{x-2}{2}=cosθ$，$\frac{y}{2}$=sinθ，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$．
∴曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
∵$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，∴ρcosθ-ρsinθ=4．∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程是x-y-4=0．
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\\{x-y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴|MN|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0+2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．